Упр.1406 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

Подробный ответ

Пусть $$\angle A=a,$$ $$\angle B=2a,$$ $$\angle C=4a.$$ Тогда

$$a+2a+4a=180^\circ,$$

откуда

$$a=\frac{180^\circ}{7},\qquad \angle B=\frac{360^\circ}{7},\qquad \angle C=\frac{720^\circ}{7}.$$

Внутренний угол правильного семиугольника равен

$$\beta=180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$

Обозначим через $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ основания высот треугольника $$ABC,$$ а через $$M,\ N,\ P$$ — середины сторон $$BC,\ CA,\ AB$$ соответственно.

Так как $$M,\ N,\ P$$ — середины сторон треугольника, то

$$MN\parallel AB,\qquad NP\parallel BC,\qquad PM\parallel AC,$$

$$MN=\frac12 AB,\qquad NP=\frac12 BC,\qquad PM=\frac12 AC.$$

Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1.$$ У него

$$\angle BA_1C=90^\circ,\qquad \angle BC_1C=90^\circ,$$

значит, точки $$B,\ A_1,\ C,\ C_1$$ лежат на одной окружности. Тогда

$$\angle A_1PC_1=\angle A_1BC_1=\angle B=\frac{360^\circ}{7}.$$

Аналогично из цикличности соответствующих четырёхугольников получаем, что углы между соседними отрезками, соединяющими точки $$B_1,\ A_1,\ P,\ C_1,\ M,\ N,$$ равны одному и тому же углу $$\beta=\frac{900^\circ}{7}.$$

Кроме того, соответствующие диагонали равны:

$$PB_1=NB=NC=PM=\frac12 AC,$$

а также

$$A_1B_1=PA_1=\frac12 BC.$$

Следовательно, все шесть точек $$B_1,\ A_1,\ P,\ C_1,\ M,\ N$$ лежат на одной окружности и последовательно соединяются равными хордами, образующими равные углы, то есть являются вершинами правильного семиугольника.

Итак, середины сторон и основания высот данного треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.