Упр.1406 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Пусть $$\angle A=a,\quad \angle B=2a,\quad \angle C=4a.$$ Тогда
$$a+2a+4a=180^\circ,$$
откуда
$$a=\frac{180^\circ}{7},\quad \angle B=\frac{360^\circ}{7},\quad \angle C=\frac{720^\circ}{7}.$$
Внутренний угол правильного семиугольника равен
$$180^\circ-\frac{360^\circ}{7}=\frac{900^\circ}{7}.$$
Обозначим через $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ основания высот, а через $$M,\ N,\ P$$ — середины сторон $$BC,\ CA,\ AB$$ соответственно.
Так как $$M,\ N,\ P$$ — середины сторон треугольника, то
$$MN\parallel AB,\quad NP\parallel BC,\quad PM\parallel AC,$$
и
$$MN=\frac12 AB,\quad NP=\frac12 BC,\quad PM=\frac12 AC.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$BA_1CC_1$$. У него
$$\angle BA_1C=\angle BC_1C=90^\circ,$$
значит, вокруг него можно описать окружность. Диагональ этой окружности — $$BC$$, поэтому её центр лежит на середине отрезка $$BC$$, то есть в точке $$P$$. Следовательно,
$$PB=PC=PA_1=PC_1=\frac12 BC.$$
Кроме того,
$$\angle C_1PA_1=2\angle C_1BA_1=2(90^\circ-\angle A)=2\left(90^\circ-\frac{180^\circ}{7}\right)=\frac{900^\circ}{7}.$$
Значит, угол между соседними сторонами многоугольника $$A_1P C_1M N B_1$$ равен внутреннему углу правильного семиугольника.
Аналогично, четырёхугольник $$AB_1CC_1$$ тоже вписанный, поэтому вокруг него можно описать окружность с диаметром $$AC$$. Её центр — точка $$N$$, и
$$NA=NB_1=NC=NC_1=\frac12 AC.$$
Тогда
$$PB_1=NB=\frac12 AC,\qquad PM=\frac12 AC,$$
а также
$$A_1B_1=PA_1=\frac12 BC.$$
Следовательно, все шесть отрезков, последовательно соединяющих точки $$B_1,\ A_1,\ P,\ C_1,\ M,\ N,$$ равны, а углы между соседними сторонами равны внутреннему углу правильного семиугольника. Значит, эти шесть точек являются шестью вершинами правильного семиугольника.
Ответ: точки $$B_1,\ A_1,\ P,\ C_1,\ M,\ N$$ являются вершинами правильного семиугольника.
