Упр.1405 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r— радиус вписанной окружности.

Подробный ответ

Обозначим через $$MH_1, MH_2, \dots, MH_n$$ перпендикуляры, опущенные из точки $$M$$ на прямые, содержащие стороны правильного $$n$$-угольника.

Площадь правильного $$n$$-угольника со стороной $$a$$ и радиусом вписанной окружности $$r$$ равна

$$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot na\cdot r.$$

С другой стороны, тот же многоугольник можно разбить на $$n$$ треугольников с общей вершиной в точке $$M$$:

$$S=S_{A_1A_2M}+S_{A_2A_3M}+\dots+S_{A_nA_1M}.$$

Площадь каждого из этих треугольников выражается через основание и высоту:

$$S_{A_1A_2M}=\frac{1}{2}a\cdot MH_1,\quad S_{A_2A_3M}=\frac{1}{2}a\cdot MH_2,\quad \dots,\quad S_{A_nA_1M}=\frac{1}{2}a\cdot MH_n.$$

Тогда

$$S=\frac{1}{2}a(MH_1+MH_2+\dots+MH_n).$$

Приравнивая два выражения для площади, получаем:

$$\frac{1}{2}na r=\frac{1}{2}a(MH_1+MH_2+\dots+MH_n).$$