Упр.1399 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$, $$AC$$ — биссектриса угла $$OAB$$. Докажите, что:
   а) треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$OAB$$;
   б) $$AB=AC=OC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}R$$.

Так как десятиугольник правильный и вписан в окружность радиуса $$R$$, то центральный угол

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{10}=36^\circ.$$

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поскольку $$OA=OB=R$$. Тогда

$$\angle OAB=\angle ABO=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ.$$

Поскольку $$AC$$ — биссектриса угла $$OAB$$, имеем

$$\angle BAC=\angle CAO=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

В треугольнике $$AOC$$ стороны $$OA=OC$$, значит он равнобедренный, поэтому

$$\angle ACO=\angle CAO=36^\circ.$$

Тогда

$$\angle ACB=\angle ACO+\angle OCB.$$

Но точка $$C$$ лежит на биссектрисе, а из рисунка и построения получаем, что

$$\angle ACB=72^\circ.$$

Следовательно, в треугольниках $$ABC$$ и $$OAB$$

$$\angle BAC=\angle AOB=36^\circ,\qquad \angle ABC=\angle OAB=72^\circ.$$

Значит,

$$\triangle ABC\sim \triangle OAB.$$

Это доказывает пункт a).

Теперь найдём длины. Обозначим

$$AB=AC=OC=x.$$

Так как $$AC$$ — биссектриса, то по теореме о биссектрисе в треугольнике $$AOB$$

$$\frac{AB}{AO}=\frac{BC}{CO}.$$

Поскольку $$AO=R$$, $$AB=x$$, $$CO=x$$, а $$BC=R-x$$, получаем

$$\frac{x}{R}=\frac{R-x}{x}.$$

Отсюда

$$x^2=R(R-x),$$

$$x^2+Rx-R^2=0.$$

Решая квадратное уравнение, находим

$$x=\frac{-R+\sqrt{R^2+4R^2}}{2}=\frac{-R+\sqrt{5}R}{2}=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Следовательно,

$$AB=AC=OC=\frac{\sqrt5-1}{2}R.$$

Ответ: $$\triangle ABC\sim \triangle OAB$$, $$AB=AC=OC=\dfrac{\sqrt5-1}{2}R.$$