Упр.1397 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен Р, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.

Обозначим $$\angle ABC=\beta$$. Тогда по теореме синусов для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AC}{\sin\beta}=2R,$$

откуда

$$AC=2R\sin\beta.$$

Найдём площадь четырёхугольника $$NOMB$$. Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то $$OB=OC=R$$. Разобьём четырёхугольник на треугольники:

$$S_{NOMB}=S_{OBN}+S_{OBM}.$$

У треугольников $$OBN$$ и $$OBA$$ одна и та же высота из точки $$O$$ к прямой $$AB$$, поэтому

$$\frac{S_{OBN}}{S_{OBA}}=\frac{NB}{AB}.$$

Аналогично для треугольников $$OBM$$ и $$OBC$$:

$$\frac{S_{OBM}}{S_{OBC}}=\frac{BM}{BC}.$$

Следовательно,

$$S_{NOMB}=\frac{NB}{AB}S_{OBA}+\frac{BM}{BC}S_{OBC}.$$

Так как

$$S_{OBA}=\frac12 R^2\sin 2C,\qquad S_{OBC}=\frac12 R^2\sin 2A,$$

то

$$S_{NOMB}=\frac12 R^2\left(\frac{NB}{AB}\sin 2C+\frac{BM}{BC}\sin 2A\right).$$

Из подобия треугольников $$AMB$$ и $$CNB$$ следует

$$\frac{AB}{CB}=\frac{MB}{NB}.$$

По теореме синусов в треугольнике $$ABC$$

$$\frac{AB}{CB}=\frac{\sin C}{\sin A},$$

значит,

$$\frac{MB}{NB}=\frac{\sin C}{\sin A}.$$

Кроме того, из этих же соотношений получаем

$$\frac{NB}{AB}=\frac{\sin A}{\sin C}\cos\beta,\qquad \frac{BM}{BC}=\frac{\sin C}{\sin A}\cos\beta.$$

Подставим в формулу для площади:

$$ S_{NOMB} =\frac12 R^2\cos\beta\left(\frac{\sin A}{\sin C}\sin 2C+\frac{\sin C}{\sin A}\sin 2A\right). $$

Так как $$\sin 2C=2\sin C\cos C$$ и $$\sin 2A=2\sin A\cos A$$, то

$$ S_{NOMB} =R^2\cos\beta(\sin A\cos C+\sin C\cos A) =R^2\cos\beta\sin(A+C). $$

Но $$A+C=180^\circ-\beta$$, значит

$$\sin(A+C)=\sin(180^\circ-\beta)=\sin\beta.$$

Следовательно,

$$S_{NOMB}=R^2\sin\beta\cos\beta=\frac{R^2}{2}\sin 2\beta.$$

Так как по условию $$S_{NOMB}=S$$, получаем

$$R^2=\frac{2S}{\sin 2\beta}.$$

Теперь найдём $$AC$$:

$$ AC=2R\sin\beta =2\sqrt{\frac{2S}{\sin 2\beta}}\sin\beta =2\sqrt{\frac{2S\sin^2\beta}{2\sin\beta\cos\beta}} =2\sqrt{S\tan\beta}. $$

Ответ

$$AC=2\sqrt{S\tan\beta}.$$