Упр.1396 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол СВР. равен а. Найдите площадь трапеции ABCD.
Опустим перпендикуляры $$DH \perp BC$$ и $$EK \perp BC$$, где $$H, K \in BC$$.
Тогда $$\angle DHC = \angle EKC = 90^\circ$$, а угол при $$C$$ у треугольников общий. Значит,
$$\triangle DHC \sim \triangle EKC.$$
Из подобия получаем коэффициент:
$$k=\frac{CD}{CE}=2,$$
так как $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, следовательно $$CE=\frac{CD}{2}=3$$.
Отсюда $$EK$$ — средняя линия треугольника $$DHC$$, значит
$$DH=2EK.$$
Обозначим $$HK=KC=a$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CEK$$:
$$EK=\sqrt{EC^2-KC^2}=\sqrt{3^2-a^2}=\sqrt{9-a^2}.$$
С другой стороны, из прямоугольного треугольника с углом $$\angle CBE=\alpha$$ имеем
$$\tan \alpha=\frac{DH}{BC}=\frac{DH}{AD+HC}.$$
Так как $$DH=2EK$$ и $$HC=HK+KC=a+a=2a$$, то
$$\sqrt{9-a^2}=(3+a)\tan \alpha.$$
Возведём в квадрат:
$$9-a^2=(3+a)^2\tan^2\alpha.$$
После преобразований получаем
$$a=3\cos 2\alpha.$$
Тогда
$$EK=\sqrt{9-a^2}=\sqrt{9-9\cos^2 2\alpha}=3\sin 2\alpha,$$
а значит высота трапеции
$$h=DH=2EK=6\sin 2\alpha.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{(AD+BC)}{2}\cdot h.$$
Так как $$BC=AD+HC=3+2a=3+6\cos 2\alpha,$$ то
$$S=\frac{3+(3+6\cos 2\alpha)}{2}\cdot 6\sin 2\alpha.$$
Упрощая, получаем
$$S=18\sin 2\alpha\,(1+\cos 2\alpha).$$
Ответ
$$18\sin 2\alpha\,(1+\cos 2\alpha)$$
