Упр.1393 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны

Пусть $$AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ AD=d.$$ Требуется выразить диагонали $$AC$$ и $$BD$$ через стороны четырёхугольника.

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то его противоположные углы supplementary:

$$\angle B+\angle D=180^\circ,\qquad \angle A+\angle C=180^\circ.$$

Рассмотрим диагональ $$AC$$. По теореме косинусов в треугольниках $$ABC$$ и $$ADC$$ получаем:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle B,$$

$$AC^2=c^2+d^2-2cd\cos\angle D.$$

Так как $$\angle D=180^\circ-\angle B,$$ то $$\cos\angle D=-\cos\angle B$$. Тогда

$$AC^2=c^2+d^2+2cd\cos\angle B.$$

Приравнивая выражения для $$AC^2$$, имеем:

$$a^2+b^2-2ab\cos\angle B=c^2+d^2+2cd\cos\angle B,$$

$$2(ab+cd)\cos\angle B=a^2+b^2-c^2-d^2,$$

$$\cos\angle B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$

Подставим это в формулу для $$AC^2$$:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cdot \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$

После преобразований получаем:

$$AC^2=\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}.$$

Значит,

$$AC=\sqrt{\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}}.$$

Аналогично для диагонали $$BD$$ рассмотрим треугольники $$BAD$$ и $$BCD$$:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos\angle A,$$

$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos\angle C.$$

Так как $$\angle C=180^\circ-\angle A,$$ то $$\cos\angle C=-\cos\angle A$$, и потому

$$BD^2=b^2+c^2+2bc\cos\angle A.$$

Следовательно,

$$a^2+d^2-2ad\cos\angle A=b^2+c^2+2bc\cos\angle A,$$

$$2(ad+bc)\cos\angle A=a^2+d^2-b^2-c^2,$$

$$\cos\angle A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Подставляя в формулу для $$BD^2$$, получаем:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cdot \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$$

$$BD^2=\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}.$$

Значит,

$$BD=\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}}.$$

Ответ

$$AC=\sqrt{\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}},\qquad BD=\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}}.$$