Упр.1393 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.

Пусть $$AB=a,\ BC=b,\ CD=c,\ AD=d.$$ Обозначим диагонали четырёхугольника через $$AC$$ и $$BD$$.

Так как четырёхугольник вписан в окружность, то его противоположные углы supplementary:

$$\angle B+\angle D=180^\circ,\qquad \cos D=-\cos B.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B,$$
$$AC^2=c^2+d^2-2cd\cos D=c^2+d^2+2cd\cos B.$$

Приравнивая правые части, получаем:

$$a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2+2cd\cos B,$$
$$2(ab+cd)\cos B=a^2+b^2-c^2-d^2,$$
$$\cos B=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}.$$

Подставим это в формулу для $$AC^2$$:

$$AC^2=a^2+b^2-2ab\cdot \frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}$$
$$=\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}.$$

Значит,

$$AC=\sqrt{\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}}.$$

Аналогично для диагонали $$BD$$:

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A,$$
$$BD^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$

откуда

$$2(ad+bc)\cos A=a^2+d^2-b^2-c^2,$$
$$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}.$$

Тогда

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cdot \frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$$
$$=\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}.$$

Следовательно,

$$BD=\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}}.$$

Ответ: $$AC=\sqrt{\frac{cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}{ab+cd}},\quad BD=\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)}{ad+bc}}.$$