Упр.1392 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса $$AA_1$$ вычисляется по формуле $$AA_1=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$$, где $$b=AC$$, $$c=AB$$.

Обозначим $$AA_1=x.$$ Тогда площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами.

С одной стороны,

$$S_{ABC}=\frac12 bc\sin A.$$

С другой стороны, треугольник $$ABC$$ разбивается биссектрисой $$AA_1$$ на два треугольника:

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{ACA_1}.$$

Так как $$\angle BAA_1=\angle CAA_1=\frac A2,$$ то

$$S_{ABA_1}=\frac12 \cdot AB \cdot AA_1 \cdot \sin\frac A2=\frac12 \cdot c \cdot x \cdot \sin\frac A2,$$

$$S_{ACA_1}=\frac12 \cdot AC \cdot AA_1 \cdot \sin\frac A2=\frac12 \cdot b \cdot x \cdot \sin\frac A2.$$

Следовательно,

$$\frac12 bc\sin A=\frac12 cx\sin\frac A2+\frac12 bx\sin\frac A2.$$

Умножим на $$2$$:

$$bc\sin A=(b+c)x\sin\frac A2.$$

Используем формулу $$\sin A=2\sin\frac A2\cos\frac A2.$$ Тогда

$$bc\cdot 2\sin\frac A2\cos\frac A2=(b+c)x\sin\frac A2.$$

Сокращая на $$\sin\frac A2,$$ получаем

$$x=\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}.$$

Значит,

$$AA_1=\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}.$$

Ответ

$$AA_1=\frac{2bc\cos\frac A2}{b+c}.$$