Упр.1388 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Пусть А и В — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

а) Выберем систему координат так, чтобы точки $$A$$ и $$B$$ лежали на оси $$Ox$$: $$A(0,0),\; B(a,0)$$, где $$a=AB$$. Пусть $$M(x,y)$$ — произвольная точка множества, для которой

$$AM=k\,BM,\qquad k>0,\; k\ne 1.$$

Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(x-a)^2+y^2.$$

Из условия получаем

$$x^2+y^2=k^2\bigl((x-a)^2+y^2\bigr).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2-k^2(x-a)^2+(1-k^2)y^2=0,$$

$$x^2-2k^2ax+k^2a^2-k^2x^2+(1-k^2)y^2=0.$$

Так как $$k\ne 1$$, делим на $$1-k^2$$ и дополняем до квадрата:

$$x^2+2\frac{k^2a}{1-k^2}x+y^2=\frac{k^2a^2}{1-k^2},$$

$$\left(x+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y^2=\left(\frac{ka}{1-k^2}\right)^2.$$

Это уравнение окружности с центром

$$C\left(-\frac{k^2a}{1-k^2},\,0\right)$$

и радиусом

$$R=\frac{ka}{|1-k^2|}.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$, удовлетворяющих условию $$AM=k\,BM$$, есть окружность.

б) Пусть $$O_1$$ — центр любой окружности, проходящей через точки $$A$$ и $$B$$, а $$E$$ — точка пересечения этой окружности с окружностью Аполлония.

Так как окружность с центром $$O_1$$ проходит через $$A$$ и $$B$$, то её центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. В выбранной системе координат это означает, что

$$O_1\left(\frac a2,\,y_1\right).$$

Для точки $$E$$, лежащей на окружности Аполлония, имеем

$$CE=R.$$

Для точки $$E$$, лежащей на окружности с центром $$O_1$$, имеем

$$O_1E=r,$$

где $$r$$ — радиус этой окружности.

Из координат центров следует, что

$$CO_1^2=\left(\frac a2+\frac{k^2a}{1-k^2}\right)^2+y_1^2.$$

С другой стороны, по формулам для радиусов и расстояния между центрами получаем

$$CE^2+O_1E^2=R^2+r^2=CO_1^2.$$

Значит, в треугольнике $$CEO_1$$ выполняется

$$CE^2+O_1E^2=CO_1^2,$$

то есть $$\angle CEO_1=90^\circ$$.

Следовательно, радиусы, проведённые в точку пересечения окружностей, взаимно перпендикулярны.

Ответ

а) Множество точек $$M$$, для которых $$AM=k\,BM$$, есть окружность Аполлония.

б) Эта окружность пересекает любую окружность, проходящую через точки $$A$$ и $$B$$, под прямым углом: радиусы, проведённые в точку пересечения, перпендикулярны.