Упр.1387 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$O$$ не лежит на данной окружности. Для каждой точки $$M_1$$ окружности на луче $$OM_1$$ взята такая точка $$M$$, что $$OM = k \cdot OM_1$$, где $$k$$ — данное положительное число. Найдите множество всех точек $$M$$.

Пусть дана окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$. Возьмём любую её точку $$M_1$$. По условию на луче $$OM_1$$ выбрана точка $$M$$ так, что

$$OM=k\cdot OM_1,$$

где $$k>0$$ — постоянное число.

Обозначим через $$X$$ произвольную точку исходной окружности. Тогда для всех таких точек выполняется равенство $$OX=r$$. После умножения всех расстояний от центра $$O$$ в $$k$$ раз получаем, что соответствующие точки $$M$$ лежат на окружности с тем же центром $$O$$ и радиусом

$$R=kr.$$

Действительно, если точка $$M_1$$ имеет координаты $$\left(x_1,y_1\right)$$, а центр окружности совпадает с началом координат, то для точки $$M$$ на том же луче

$$x=kx_1,\qquad y=ky_1.$$

Так как $$M_1$$ лежит на исходной окружности, то

$$x_1^2+y_1^2=r^2.$$

Тогда

$$x^2+y^2=k^2(x_1^2+y_1^2)=k^2r^2,$$

то есть все точки $$M$$ удовлетворяют уравнению

$$x^2+y^2=(kr)^2.$$

Следовательно, множество всех точек $$M$$ — это окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$kr$$.

Ответ: окружность с центром $$O$$ и радиусом $$kr$$.