Упр.1385 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки \(A\), \(B\), \(C\) и три числа \(a\), \(b\), \(c\). Найдите множество всех точек \(M\), для каждой из которых сумма $$aAM^2+bBM^2+cCM^2$$ имеет постоянное значение, если:
   а) $$a+b+c=0$$;
   б) $$a+b+c=0$$.

Рассмотрим координатную плоскость. Выберем систему координат так, чтобы точки имели координаты $$A(0,0),\; B(b,0),\; C(c,d).$$

Пусть $$M(x,y).$$ Тогда

$$AM^2=x^2+y^2,\qquad BM^2=(x-b)^2+y^2,\qquad CM^2=(x-c)^2+(y-d)^2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} aAM^2+bBM^2+\gamma CM^2 &=a(x^2+y^2)+b\bigl((x-b)^2+y^2\bigr)+\gamma\bigl((x-c)^2+(y-d)^2\bigr)\\ &=(a+b+\gamma)x^2-2(b b+\gamma c)x+(a+b+\gamma)y^2-2\gamma d\,y\\ &\quad +bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2. \end{aligned}$$

а) $$a+b+\gamma\ne 0$$

Тогда можно выделить полные квадраты:

$$\begin{aligned} &(a+b+\gamma)x^2-2(bb+\gamma c)x+(a+b+\gamma)y^2-2\gamma d\,y+bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2=k,\\ &\left(x-\frac{bb+\gamma c}{a+b+\gamma}\right)^2+\left(y-\frac{\gamma d}{a+b+\gamma}\right)^2=Z, \end{aligned}$$

где $$Z$$ — некоторое постоянное число.

Значит, множество точек $$M$$ задаётся:

• окружностью, если $$Z>0$$;
• одной точкой, если $$Z=0$$;
• пустым множеством, если $$Z<0$$.

б) $$a+b+\gamma=0$$

Тогда квадратичные члены исчезают, и получаем линейное уравнение:

$$-2(bb+\gamma c)x-2\gamma d\,y+bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2=k.$$

Или

$$P x+Q y+R=0,$$

где $$P=-(bb+\gamma c),\; Q=-\gamma d,\; R=\dfrac{bb^2+\gamma c^2+\gamma d^2-k}{2}.$$

Следовательно, множество точек $$M$$ может быть:

• прямой, если $$P$$ и $$Q$$ не равны нулю одновременно;
• пустым множеством, если $$P=Q=0,\; R\ne 0$$;
• всей плоскостью, если $$P=Q=R=0$$.

Ответ: а) окружность, одна точка или пустое множество; б) прямая, пустое множество или вся плоскость.