Упр.1383 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что:
а) уравнение $$Ax+By+C=0$$, где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;
б) уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
а) Рассмотрим уравнение $$Ax+By+C=0,$$ где $$A$$ и $$B$$ одновременно не равны нулю.
Докажем, что оно задаёт прямую.
Если $$A=0,$$ то $$B\neq 0$$, и уравнение принимает вид
$$By+C=0,\qquad y=-\frac{C}{B}.$$
Это уравнение прямой, параллельной оси $$Ox$$.
Если $$B=0,$$ то $$A\neq 0$$, и уравнение принимает вид
$$Ax+C=0,\qquad x=-\frac{C}{A}.$$
Это уравнение прямой, параллельной оси $$Oy$$.
Если же $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0,$$ то
$$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}.$$
Это линейная функция, её график — прямая. Следовательно, уравнение $$Ax+By+C=0$$ при одновременном условии $$A\neq 0$$ и $$B\neq 0$$ является уравнением прямой.
б) Рассмотрим уравнение $$x^2-xy-2=0.$$
Преобразуем его:
$$xy=x^2-2,\qquad y=\frac{x^2-2}{x}.$$
Полученная кривая не может быть окружностью, так как уравнение окружности не содержит члена вида $$xy$$ и имеет вид
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.$$
Кроме того, для данной кривой при $$x=0$$ выражение для $$y$$ не определено, то есть имеется вертикальная асимптота $$x=0$$, а также при больших $$|x|$$ поведение кривой близко к $$y=x$$, то есть есть наклонная асимптота. У окружности асимптот нет.
Значит, уравнение $$x^2-xy-2=0$$ не является уравнением окружности.
