Упр.1382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А (2; 3), В (4;-5); б) А (-2; 4), В (3; 1).

Подробный ответ

а) Чтобы сумма $$AM+BM$$ была наименьшей, точку $$B$$ отражать не нужно, так как точки $$A(2;3)$$ и $$B(4;-5)$$ лежат по разные стороны от оси $$Ox$$. Тогда искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB$$ с осью абсцисс.

Найдём уравнение прямой $$AB$$:

$$ \frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{-5-3} $$
$$ \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-8} $$
$$ -4(x-2)=y-3 $$
$$ y=-4x+11 $$

Так как $$M$$ лежит на оси $$Ox$$, то $$y=0$$. Подставим:

$$ 0=-4x+11 $$
$$ 4x=11 $$
$$ x=\frac{11}{4} $$

Следовательно, $$M\left(\frac{11}{4};0\right)$$.

б) Точки $$A(-2;4)$$ и $$B(3;1)$$ лежат по одну сторону от оси $$Ox$$. Отразим точку $$B$$ относительно оси $$Ox$$: получим $$B'(3;-1)$$. Тогда сумма $$AM+BM$$ минимальна, когда точки $$A$$, $$M$$ и $$B’$$ лежат на одной прямой, а $$M$$ — точка пересечения этой прямой с осью $$Ox$$.

Найдём уравнение прямой $$AB’$$:

$$ \frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-4}{-1-4} $$
$$ \frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{-5} $$
$$ x+2=-(y-4) $$
$$ y=-x+2 $$

Так как $$M$$ лежит на оси $$Ox$$, то $$y=0$$. Тогда:

$$ 0=-x+2 $$
$$ x=2 $$

Значит, $$M(2;0)$$.