Упр.1382 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку $$M$$, для которой сумма её расстояний от точек $$A$$ и $$B$$ имеет наименьшее значение: а) $$A(2; 3)$$, $$B(4; -5)$$; б) $$A(-2; 4)$$, $$B(3; 1)$$.

Подробный ответ

Рассмотрим отражение одной из точек относительно оси абсцисс. Тогда для точки $$M$$ на оси $$Ox$$ сумма $$AM+BM$$ будет наименьшей, когда точки $$A$$, $$M$$ и отражённая точка $$B’$$ лежат на одной прямой.

а)

$$A(2;3),\quad B(4;-5).$$

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по разные стороны от оси $$Ox$$, значит искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB$$ с осью абсцисс.

Найдём уравнение прямой $$AB$$:

$$\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{-5-3}$$
$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-8}$$
$$-4(x-2)=y-3$$
$$y=-4x+11.$$

Так как $$M$$ лежит на оси абсцисс, то $$y=0$$. Тогда

$$0=-4x+11,\qquad 4x=11,\qquad x=\frac{11}{4}.$$

Следовательно, $$M\left(\frac{11}{4};0\right).$$

б)

$$A(-2;4),\quad B(3;1).$$

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от оси $$Ox$$. Отразим точку $$B$$ относительно оси абсцисс: получим $$B'(3;-1)$$. Тогда искомая точка $$M$$ — это точка пересечения прямой $$AB’$$ с осью $$Ox$$.

Найдём уравнение прямой $$AB’$$:

$$\frac{x-(-2)}{3-(-2)}=\frac{y-4}{-1-4}$$
$$\frac{x+2}{5}=\frac{y-4}{-5}$$
$$-(x+2)=y-4$$
$$y=-x+2.$$

Так как $$M$$ лежит на оси абсцисс, то $$y=0$$. Тогда

$$0=-x+2,\qquad x=2.$$

Следовательно, $$M(2;0).$$