Упр.1381 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс m1, m2 и m3, сосредоточенных соответственно в точках А1 (x1; у1), А2 (х2; у2), А3 (х3; у3).

Подробный ответ

Сначала найдём координаты центра тяжести двух масс $$m_1$$ и $$m_2$$, расположенных в точках $$A_1(x_1;y_1)$$ и $$A_2(x_2;y_2)$$. Для точки равновесия выполняется:

$$ \begin{cases} m_1g(x-x_1)+m_2g(x-x_2)=0,\\ m_1g(y-y_1)+m_2g(y-y_2)=0. \end{cases} $$

После сокращения на $$g$$ получаем:

$$ \begin{cases} x(m_1+m_2)=m_1x_1+m_2x_2,\\ y(m_1+m_2)=m_1y_1+m_2y_2. \end{cases} $$

Отсюда координаты центра тяжести двух масс:

$$ x_{12}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}, \qquad y_{12}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}. $$

Теперь заменим первые две массы одной равновесной массой $$m_1+m_2$$, расположенной в точке $$A_{12}(x_{12};y_{12})$$, и рассмотрим систему из двух масс: $$m_1+m_2$$ в точке $$A_{12}$$ и $$m_3$$ в точке $$A_3(x_3;y_3)$$.

Для центра тяжести всей системы имеем:

$$ \begin{cases} (m_1+m_2)g(x-x_{12})+m_3g(x-x_3)=0,\\ (m_1+m_2)g(y-y_{12})+m_3g(y-y_3)=0. \end{cases} $$

Сокращая на $$g$$ и подставляя $$x_{12}$$, $$y_{12}$$, получаем:

$$ \begin{cases} (m_1+m_2)x-(m_1x_1+m_2x_2)+m_3(x-x_3)=0,\\ (m_1+m_2)y-(m_1y_1+m_2y_2)+m_3(y-y_3)=0. \end{cases} $$

После преобразований:

$$ \begin{cases} (m_1+m_2+m_3)x=m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3,\\ (m_1+m_2+m_3)y=m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3. \end{cases} $$

Следовательно, координаты центра тяжести системы трёх масс равны:

$$ x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}, \qquad y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}. $$