Упр.1380 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ $$AC=9\ \text{см}$$, $$BC=12\ \text{см}$$. Медианы $$AM$$ и $$BN$$ взаимно перпендикулярны. Найдите $$AB$$.

Пусть $$A(0;0)$$, $$C(9;0)$$. Обозначим $$B(x;y)$$, где $$y>0$$.

Так как $$BC=12$$, то

$$(x-9)^2+y^2=144.$$

Точка $$N$$ — середина отрезка $$AC$$, значит

$$N\left(\frac{9}{2};0\right).$$

Точка $$M$$ — середина отрезка $$BC$$, поэтому

$$M\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right).$$

Условие $$AM\perp BN$$ означает, что их направляющие векторы перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

$$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=0.$$

Имеем

$$\left(\frac{x+9}{2};\frac{y}{2}\right)\cdot \left(\frac{9}{2};-y\right)=0,$$

откуда

$$\frac{9(x+9)}{4}-\frac{y^2}{2}=0.$$

Умножим на $$4$$:

$$9(x+9)-2y^2=0.$$

Из системы

$$\begin{cases} (x-9)^2+y^2=144,\\ 9(x+9)-2y^2=0 \end{cases}$$

получаем

$$y^2=\frac{9(x+9)}{2}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(x-9)^2+\frac{9(x+9)}{2}=144.$$

После преобразований:

$$2x^2-36x+162+9x+81=288,$$

$$2x^2-27x-45=0,$$

$$x=\frac{27\pm 33}{4}.$$

Так как точка $$B$$ лежит слева от точки $$A$$, то $$x=-1$$.

Тогда

$$y^2=144-(-1-9)^2=144-100=44,$$

$$y=2\sqrt{11}.$$

Следовательно,

$$AB=\sqrt{(-1)^2+(2\sqrt{11})^2}=\sqrt{1+44}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ см}.$$

Ответ: $$3\sqrt{5}\text{ см}$$.