Упр.1377 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны две точки А(х1;у1) и В (х2; у2). Докажите, что координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении L (т. е. AC/CB = L), выражаются формулами х =x1+Lx2/1+L, y=y1+Ly2/1+L

Пусть точка $$C(x;y)$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$\lambda$$, то есть

$$\frac{AC}{CB}=\lambda.$$

Так как точки $$A(x_1;y_1)$$, $$C(x;y)$$ и $$B(x_2;y_2)$$ лежат на одной прямой, то их координаты связаны пропорционально:

$$\frac{x-x_1}{x_2-x}=\lambda,\qquad \frac{y-y_1}{y_2-y}=\lambda.$$

Отсюда получаем систему:

$$x-x_1=\lambda(x_2-x),$$

$$y-y_1=\lambda(y_2-y).$$

Решим её относительно $$x$$ и $$y$$:

$$x-x_1=\lambda x_2-\lambda x,$$

$$x+\lambda x=x_1+\lambda x_2,$$

$$x(1+\lambda)=x_1+\lambda x_2,$$

$$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}.$$

Аналогично:

$$y-y_1=\lambda y_2-\lambda y,$$

$$y+\lambda y=y_1+\lambda y_2,$$

$$y(1+\lambda)=y_1+\lambda y_2,$$

$$y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.$$

Таким образом, координаты точки $$C$$ выражаются формулами

$$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\qquad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.$$

Ответ

$$x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\qquad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}.$$