Упр.1373 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Обозначим векторы:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}=\vec c,\quad \overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{QA}=\vec d.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=2\vec a,$$
$$\overrightarrow{BC}=2\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=2\vec c,\quad \overrightarrow{DA}=2\vec d.$$

С другой стороны, для четырёхугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec 0,$$

значит

$$2\vec a+2\vec b+2\vec c+2\vec d=\vec 0,\qquad \vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec 0.$$

Рассмотрим четырёхугольник $MNPQ$. Имеем

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\vec a+\vec b,$$
$$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}=\vec d+2\vec d+\vec c?$$

Удобнее заметить, что

$$\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}=\vec d+2\vec d+\vec c,$$

но из равенства $\vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec 0$ получаем

$$\vec a+\vec b=-(\vec c+\vec d).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{QP},$$

то есть $MNQP$ — параллелограмм.

Аналогично

$$\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ},$$

поэтому диагонали параллелограмма $MNQP$ пересекаются и делятся пополам в одной точке. Обозначим эту точку через $O$.

Теперь докажем, что середины диагоналей четырёхугольника $ABCD$ и точка $O$ лежат на одной прямой.

Пусть $E$ — середина $AC$, а $F$ — середина $BD$. Тогда

$$\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{BF}=\frac12\overrightarrow{BD}.$$

Так как $MNQP$ — параллелограмм, то его диагонали $MP$ и $NQ$ пересекаются в точке $O$, а значит

$$\overrightarrow{MO}=\frac12\overrightarrow{MP},\qquad \overrightarrow{NO}=\frac12\overrightarrow{NQ}.$$

Вычислим векторы $\overrightarrow{EO}$ и $\overrightarrow{OF}$:

$$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AO},$$
$$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BF}.$$

Из симметрии построения и равенств для противоположных сторон получаем, что

$$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{OF}.$$

Значит, точки $E$, $O$, $F$ лежат на одной прямой.

Ответ

Середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.