Упр.1372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + l + m = 0 и для произвольной точки О выполняется равенство kOA + lOВ + mОС = 0.

Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой. Возьмём произвольную точку $$O$$ и разложим векторы $$\overrightarrow{OA}$$, $$\overrightarrow{OB}$$, $$\overrightarrow{OC}$$ на две составляющие: вдоль прямой $$AC$$ и перпендикулярно ей.

Обозначим через $$\vec e$$ единичный вектор, параллельный прямой $$AC$$. Тогда для некоторых чисел $$AE$$, $$BE$$, $$CE$$ и вектора $$\overrightarrow{OE}$$, перпендикулярного $$AC$$, имеем:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE}.$$

Следовательно,

$$ k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’} +(k+l+m)\overrightarrow{OE}. $$

Если $$k+l+m=0$$, то перпендикулярная составляющая исчезает, и остаётся только составляющая вдоль прямой $$AC$$:

$$ k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC} = \bigl(-k\cdot AE-l\cdot BE+m\cdot EC\bigr)\vec e. $$

Теперь подберём числа $$k,l,m\neq 0$$ так, чтобы это выражение было равно нулю. Положим $$k=1$$. Тогда из условия

$$1+l+m=0$$

получаем $$l=-m-1$$. Подставим в равенство для проекций на прямую $$AC$$:

$$ -AE-l\cdot BE+m\cdot EC=0. $$

Так как точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой, то

$$AE=AB+BE,\qquad EC=BC-BE,$$

и после подстановки получаем

$$ -AE+\left(\frac{AB}{BC}+1\right)BE-\frac{AB}{BC}\,EC=0. $$

Это равенство выполняется, если

$$ m=\frac{AB}{BC},\qquad l=-\frac{AB}{BC}-1. $$

Тогда действительно

$$k+l+m=1-\frac{AB}{BC}-1+\frac{AB}{BC}=0,$$

а значит,

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Обратно, если для некоторых чисел $$k,l,m\neq 0$$ выполнено $$k+l+m=0$$ и

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0$$

для произвольной точки $$O$$, то векторное равенство не зависит от выбора точки $$O$$ только в том случае, когда точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой. Иначе невозможно подобрать ненулевые коэффициенты, при которых сумма трёх радиус-векторов с нулевой суммой коэффициентов обращается в нуль для любой точки $$O$$.

Следовательно, утверждение доказано.

Ответ

Точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k,l,m\neq 0$$ такие, что $$k+l+m=0$$ и для любой точки $$O$$ выполняется $$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0$$.