Упр.1372 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите следующее утверждение: три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k$$, $$l$$ и $$m$$, одновременно не равные нулю, такие, что $$k+l+m=0$$ и для произвольной точки $$O$$ выполняется равенство $$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=0$$.

Подробный ответ

Пусть точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой. Докажем, что существуют числа $$k,l,m\neq 0$$ такие, что $$k+l+m=0$$ и для любой точки $$O$$ выполняется равенство

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$

Рассмотрим прямую $$AC$$ и введём единичный вектор $$\vec e$$, параллельный этой прямой. Для любой точки $$O$$ разложим векторы $$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$$ на составляющие, параллельную прямой $$AC$$, и перпендикулярную ей:

$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB’}+\overrightarrow{OE},\qquad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC’}+\overrightarrow{OE},$$

где $$A’,B’,C’$$ — проекции точек $$A,B,C$$ на прямую, параллельную $$AC$$ и проходящую через $$O$$, а $$\overrightarrow{OE}$$ — общая перпендикулярная составляющая.

Тогда

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}+(k+l+m)\overrightarrow{OE}.$$

Если $$k+l+m=0$$, то перпендикулярная составляющая исчезает, и остаётся только сумма векторов, лежащих на одной прямой. Выберем, например, $$k=1$$. Тогда нужно, чтобы

$$\overrightarrow{OA’}+l\overrightarrow{OB’}+m\overrightarrow{OC’}=\vec 0,\qquad 1+l+m=0.$$

Так как точки $$A,B,C$$ коллинеарны, то можно подобрать коэффициенты по отношениям отрезков на прямой $$AC$$. Например, положим

$$m=\frac{AB}{BC},\qquad l=-\frac{AB}{BC}-1.$$

Тогда

$$1+l+m=1-\frac{AB}{BC}-1+\frac{AB}{BC}=0,$$

а линейная комбинация векторов на прямой $$AC$$ обращается в нуль. Значит, существуют ненулевые числа $$k,l,m$$, удовлетворяющие условиям задачи.

Обратно, пусть для некоторых ненулевых $$k,l,m$$ выполнено

$$k+l+m=0,\qquad k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0$$

для любой точки $$O$$. Тогда векторная сумма не зависит от выбора точки $$O$$ и возможна только в случае, когда все три точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой: иначе при изменении точки $$O$$ перпендикулярная составляющая не могла бы исчезать при ненулевых коэффициентах. Следовательно, точки $$A,B,C$$ коллинеарны.

Итак, три точки $$A,B,C$$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа $$k,l,m\neq 0$$ такие, что $$k+l+m=0$$ и для произвольной точки $$O$$ выполняется

$$k\overrightarrow{OA}+l\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\vec 0.$$