Упр.1371 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан треугольник $$ABC$$. Докажите, что вектор $$\frac{AB}{|AB|}=\frac{AC}{|AC|}$$ направлен вдоль биссектрисы угла $$A$$, а вектор $$\frac{AB}{|AB|}-\frac{AC}{|AC|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.

Подробный ответ

Обозначим

$$\vec{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}, \qquad \vec{v}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}.$$

Тогда $$|\vec{u}|=|\vec{v}|=1.$$

Построим точки $$D$$ и $$E$$ так, чтобы

$$\overrightarrow{AD}=\vec{u}, \qquad \overrightarrow{AE}=\vec{v}.$$

Тогда точки $$D$$ и $$E$$ лежат на окружности с центром в $$A$$ и радиусом $$1$$, а четырёхугольник $$AEFD$$ является ромбом, если

$$\overrightarrow{AF}=\vec{u}+\vec{v}.$$

В ромбе диагональ соединяет вершину с углом между равными сторонами и делит этот угол пополам. Значит, вектор $$\overrightarrow{AF}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла при вершине $$A$$.

Теперь рассмотрим вектор

$$\overrightarrow{AF’}=\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}).$$

Так как $$|\vec{u}|=|-\vec{v}|=1,$$ то точки $$D$$ и $$E’$$ можно выбрать так, что

$$\overrightarrow{AD}=\vec{u}, \qquad \overrightarrow{AE’}=-\vec{v}.$$

Тогда четырёхугольник $$AE’F’D$$ также является ромбом, а его диагональ $$\overrightarrow{AF’}$$ делит пополам внешний угол при вершине $$A$$. Следовательно, вектор

$$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$

направлен вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.

Ответ: $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ направлен вдоль биссектрисы внутреннего угла $$A$$, а $$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}-\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$$ — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине $$A$$.