Упр.1370 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёхугольник EFGH?

Подробный ответ

Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$M, N, P, Q$$ соответственно. Тогда точки $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно точек $$M, N, P, Q$$, значит $$O$$ — середина отрезков $$ME, NF, PG, QH$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$. Пусть

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PD}=\vec c,\quad \overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{QA}=\vec d.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}=2\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=2\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=2\vec c,\quad \overrightarrow{DA}=2\vec d.$$

С другой стороны, для замкнутого четырёхугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec 0,$$

откуда

$$\vec a+\vec b+\vec c+\vec d=\vec 0.$$

Теперь найдём векторы сторон четырёхугольника $$MNPQ$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\vec a+\vec b,$$
$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DQ}=\vec c+\vec d.$$

Так как $$\vec a+\vec b=-(\vec c+\vec d),$$ то

$$\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{PQ},$$

следовательно, $$MN \parallel PQ$$ и $$MN=PQ$$. Аналогично получаем, что $$NP \parallel MQ$$ и $$NP=MQ$$. Значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.

Так как точки $$E, F, G, H$$ симметричны точке $$O$$ относительно $$M, N, P, Q$$, то $$M, N, P, Q$$ — середины отрезков $$EE, FF, GG, HH$$ в соответствующем смысле, и в треугольниках и отрезках получаем:

$$EF \parallel MN,\quad EF=2MN,$$
$$FG \parallel NP,\quad FG=2NP,$$
$$GH \parallel PQ,\quad GH=2PQ,$$
$$HE \parallel MQ,\quad HE=2MQ.$$

Поскольку в четырёхугольнике $$MNPQ$$ противоположные стороны параллельны, то и у четырёхугольника $$EFGH$$ противоположные стороны попарно параллельны:

$$EF \parallel GH,\quad FG \parallel HE.$$

Следовательно, $$EFGH$$ — параллелограмм.