Упр.137 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, пересекает стороны угла в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ — равнобедренный.
2. На рисунке 53 (см. с. 31) $$BC = AD$$, $$AB = CD$$. Докажите, что $$\angle B = \angle D$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ANA_1$$ и $$\triangle AMA_1$$.

У них:

• $$AA_1$$ — общая сторона;
• $$\angle NAA_1=\angle MAA_1$$, так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$;
• $$\angle NA_1A=\angle MA_1A=90^\circ$$, так как прямая $$a$$ перпендикулярна $$AA_1$$.

Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие стороны равны:

$$AN=AM.$$

Итак, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.

Ответ

$$AM=AN$$, значит, $$\triangle AMN$$ равнобедренный.