Упр.1368 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 86).

Подробный ответ

Докажем основные свойства умножения вектора на число.

1) Для любых чисел $$k$$ и $$l$$ и любого вектора $$\vec a$$ имеем:

$$ (kl)\vec a = k(l\vec a). $$

Это следует из определения умножения вектора на число: при последовательном умножении на числа $$l$$ и $$k$$ длина вектора изменяется в $$|l|$$ и затем в $$|k|$$ раз, то есть в итоге в $$|kl|$$ раз, а направление определяется знаком произведения $$kl$$.

2) Если $$\vec a=\vec 0$$, то равенство

$$ (kl)\vec a = k(l\vec a) $$

очевидно, так как при умножении нулевого вектора на любое число снова получается нулевой вектор.

3) Если $$\vec a\ne \vec 0$$, то

$$ |(kl)\vec a| = |kl|\,|\vec a| = |k|\,|l|\,|\vec a| = |k|\,|l\vec a| = |k(l\vec a)|. $$

Если $$kl\ge 0$$, то векторы $$(kl)\vec a$$ и $$k(l\vec a)$$ сонаправлены с $$\vec a$$. Если $$kl<0$$, то они противоположно направлены. Значит,

$$ (kl)\vec a = k(l\vec a). $$

4) Докажем, что для любых чисел $$k$$ и любого вектора $$\vec a$$ и $$\vec b$$ справедливо:

$$ k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b. $$

5) Если $$k=0$$, то равенство очевидно, так как обе части равны нулевому вектору.

6) Пусть $$k\ne 0$$. Рассмотрим сначала случай, когда векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны. Отложим от точки $$O$$ векторы $$\overrightarrow{OA_1}=\vec a$$ и $$\overrightarrow{OA}=k\vec a$$, а от точки $$A_1$$ — вектор $$\overrightarrow{A_1B_1}=\vec b$$, а от точки $$A$$ — вектор $$\overrightarrow{AB}=k\vec b$$.

Треугольники $$OA_1B_1$$ и $$OAB$$ подобны с коэффициентом подобия $$|k|$$. Следовательно,

$$ \overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OB_1}=k(\vec a+\vec b). $$

С другой стороны,

$$ \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\vec a+k\vec b. $$

Значит,

$$ k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b. $$

7) Тогда сразу получаем:

$$ (k+l)\vec a = k\vec a + l\vec a. $$

8) Пусть хотя бы одно из чисел $$k$$ или $$l$$ отлично от нуля. Тогда можно рассмотреть вектор

$$ \vec a+\frac{l}{k}\vec a $$

или аналогично при $$l\ne 0$$. По свойству распределительности:

$$ \vec a+\frac{l}{k}\vec a=\left(1+\frac{l}{k}\right)\vec a. $$