Упр.1366 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1366. Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом k=-2 серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты этого треугольника.

Пусть $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, $$O$$ — точка пересечения его медиан, а $$a$$ — серединный перпендикуляр к стороне $$AC$$. Тогда точка $$D$$ лежит на прямой $$a$$ и $$a \perp AC$$.

Так как точка $$O$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины, то

$$BO=2\cdot OD.$$

Рассмотрим гомотетию с центром $$O$$ и коэффициентом $$k=-2$$. При этой гомотетии точка $$D$$ переходит в точку $$B$$, поскольку $$O, D, B$$ лежат на одной прямой и $$BO=2\cdot OD$$, причём точки $$D$$ и $$B$$ находятся по разные стороны от $$O$$.

Прямая $$a$$, не проходящая через центр гомотетии, переходит в прямую $$a_1$$, параллельную ей. Значит,

$$a_1 \parallel a.$$

Но $$a \perp AC$$, следовательно, и $$a_1 \perp AC$$. При этом прямая $$a_1$$ проходит через точку $$B$$, то есть содержит высоту треугольника $$ABC$$, проведённую из вершины $$B$$.

Аналогично серединные перпендикуляры к другим сторонам треугольника переходят в прямые, проходящие через соответствующие вершины и перпендикулярные противоположным сторонам, то есть в прямые, содержащие высоты треугольника.

Ответ

При гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом $$k=-2$$ серединные перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в прямые, содержащие высоты этого треугольника.