Упр.1365 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

При гомотетии с коэффициентом k=1/2 и центром в точке A, любая точка M этой окружности перейдет в точку M_1,которая делит отрезок AM пополам, при этом центр окружности O_1 является серединой OA, а радиус новой окружности вдвое меньше данной;
Ответ: O_1 принадлежит OA; OO_1=AO_1; R=r/2.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$ и коэффициентом $$k=\frac{1}{2}$$. При этой гомотетии любая точка $$M$$ окружности переходит в точку $$M_1$$, лежащую на отрезке $$AM$$ и делящую его пополам, то есть $$M_1$$ — середина отрезка $$AM$$.

Так как при гомотетии окружность переходит в окружность, то множество всех точек $$M_1$$ также образует окружность.

Центр исходной окружности $$O$$ переходит в точку $$O_1$$, которая является серединой отрезка $$OA$$. Значит, $$O_1 \in OA$$ и $$OO_1=AO_1$$.

Радиус при гомотетии с коэффициентом $$\frac{1}{2}$$ уменьшается в 2 раза, поэтому радиус новой окружности равен

$$R=\frac{r}{2}.$$

Ответ

Множество середин отрезков $$AM$$ есть окружность. Её центр $$O_1$$ — середина отрезка $$OA$$, а радиус $$R=\frac{r}{2}$$.