Упр.1361 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1361. В окружности проведён диаметр АВ. Через точку А и произвольную точку М этой окружности проведена прямая, пересекающая в точке К касательную к окружности в точке В. Докажите, что произведение AM·AK не зависит от выбора точки М на окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABK$$. Так как $$AB$$ — диаметр окружности, а $$BK$$ — касательная в точке $$B$$, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $$AB \perp BK$$.

По теореме Пифагора для треугольника $$ABK$$ получаем:

$$BK^2=AK^2-AB^2.$$

С другой стороны, точка $$M$$ лежит на отрезке $$AK$$, поэтому

$$AK=AM+MK,$$

откуда

$$MK=AK-AM.$$

Для касательной и секущей, проведённых из точки $$K$$, имеем:

$$BK^2=MK\cdot AK.$$

Подставим сюда выражение для $$MK$$:

$$BK^2=(AK-AM)\cdot AK=AK^2-AM\cdot AK.$$

Сравнивая два выражения для $$BK^2$$, получаем:

$$AK^2-AM\cdot AK=AK^2-AB^2,$$

следовательно,

$$AM\cdot AK=AB^2.$$

Правая часть не зависит от выбора точки $$M$$, значит произведение $$AM\cdot AK$$ постоянно.

Ответ

$$AM\cdot AK=AB^2,$$ это произведение не зависит от выбора точки $$M$$.