Упр.1361 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

В окружности проведён диаметр $$AB$$. Через точку $$A$$ и произвольную точку $$M$$ этой окружности проведена прямая, пересекающая в точке $$K$$ касательную к окружности в точке $$B$$. Докажите, что произведение $$AM \cdot AK$$ не зависит от выбора точки $$M$$ на окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABK$$. Так как $$BK$$ — касательная к окружности в точке $$B$$, а $$AB$$ — диаметр, то радиус $$OB$$ лежит на прямой $$AB$$ и $$AB \perp BK$$. Значит, $$\angle ABK=90^\circ$$.

По теореме Пифагора для треугольника $$ABK$$ получаем:

$$BK^2=AK^2-AB^2.$$

С другой стороны, точка $$M$$ лежит на отрезке $$AK$$, поэтому

$$MK=AK-AM.$$

Для касательной и секущей, проведённых из точки $$K$$, имеем:

$$BK^2=MK\cdot AK.$$

Подставим сюда выражение для $$MK$$:

$$BK^2=(AK-AM)\cdot AK=AK^2-AM\cdot AK.$$

Сравнивая два выражения для $$BK^2$$, получаем:

$$AK^2-AM\cdot AK=AK^2-AB^2,$$

откуда

$$AM\cdot AK=AB^2.$$

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то $$AB$$ постоянно, значит произведение $$AM\cdot AK$$ не зависит от выбора точки $$M$$.

Ответ: $$AM\cdot AK=AB^2$$.