Упр.1360 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1360. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.

Подробный ответ

Обозначим точки касания меньшей окружности со сторонами угла через $$M$$ и $$N$$, а большей — через $$P$$ и $$Q$$. Пусть прямые $$MQ$$ и $$PQ$$ пересекают соответствующие окружности в точках $$E$$ и $$F$$, как на рисунке.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$OM=ON,\qquad OP=OQ.$$

Рассмотрим степень точки $$M$$ относительно большей окружности. Так как $$MP$$ — касательная, а прямая $$MQ$$ — секущая, то

$$MP^2=ME\cdot MQ.$$

Аналогично для точки $$Q$$ относительно меньшей окружности:

$$QN^2=QE\cdot QM.$$

Но из равенства касательных из точки $$O$$ имеем $$MP=QN$$, значит

$$ME\cdot MQ=QE\cdot QM,$$

откуда

$$ME=QE.$$

Так как точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой $$MQ$$ и соответствующие отрезки на этой прямой равны, то окружности отсекают на прямой $$MQ$$ равные хорды.