Упр.1360 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные хорды.

1) Так как из одной точки к окружности проведены касательные, то их отрезки равны:

$$OM=ON,\qquad OP=OQ,\qquad MP=NQ.$$

2) Рассмотрим прямую $$MQ$$ как секущую для обеих окружностей.

Для первой окружности по теореме о касательной и секущей имеем:

$$MP^2=ME\cdot MQ.$$

Для второй окружности аналогично:

$$NQ^2=QF\cdot QM.$$

Но $$MP=NQ$$, значит

$$ME\cdot MQ=QF\cdot QM.$$

Так как $$MQ\neq 0$$, получаем

$$ME=QF.$$

Следовательно, окружности на прямой $$MQ$$ отсекают равные хорды.

Ответ: $$ME=FQ$$.