Упр.136 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках DEF и MNP EF — NP, DF = MP и угол F = угол P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке К. Докажите, что угол DOE = угол MKN. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ=АС, BD = DC и угол BAC = 50°. Найдите угол CAD.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle DEF$$ и $$\triangle MNP$$. По условию

$$EF=NP,\quad DF=MP,\quad \angle F=\angle P.$$

Следовательно, $$\triangle DEF \cong \triangle MNP$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$DE=MN,\quad \angle D=\angle M,\quad \angle E=\angle N.$$

2) Так как $$DO$$ и $$EO$$ — биссектрисы углов $$D$$ и $$E$$, то

$$\angle EDO=\frac{1}{2}\angle D,\quad \angle DEO=\frac{1}{2}\angle E.$$

Аналогично, поскольку $$MK$$ и $$NK$$ — биссектрисы углов $$M$$ и $$N$$, имеем

$$\angle NMK=\frac{1}{2}\angle M,\quad \angle MNK=\frac{1}{2}\angle N.$$

Из равенств $$\angle D=\angle M$$ и $$\angle E=\angle N$$ получаем:

$$\angle EDO=\angle NMK,\quad \angle DEO=\angle MNK.$$

3) В треугольниках $$\triangle DOE$$ и $$\triangle MKN$$ равны сторона и прилежащие к ней углы: