Упр.1349 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дан квадрат $$ABCD$$, площадь которого равна $$S$$. Постройте квадраты, площади которых равны: а) $$\frac{1}{4}S$$; б) $$\frac{1}{9}S$$; в) $$3S$$.
Пусть сторона данного квадрата равна $$a$$. Тогда его площадь $$S=a^2$$.
Чтобы построить квадрат с заданной площадью, достаточно построить его сторону.
Площадь $$\frac14S$$ означает, что сторона нового квадрата равна
$$\sqrt{\frac14S}=\frac12\sqrt{S}=\frac a2.$$
Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной половине стороны данного квадрата. Это можно сделать, разделив сторону квадрата пополам и построив квадрат на полученном отрезке.
Площадь $$\frac19S$$ означает, что сторона нового квадрата равна
$$\sqrt{\frac19S}=\frac13\sqrt{S}=\frac a3.$$
Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной трети стороны данного квадрата. Для этого сторону квадрата делят на три равные части и строят квадрат на одном таком отрезке.
Площадь $$3S$$ означает, что сторона нового квадрата равна
$$\sqrt{3S}=\sqrt3\,\sqrt{S}=a\sqrt3.$$
Значит, нужно построить квадрат со стороной $$a\sqrt3$$. Такую сторону можно получить, например, как диагональ квадрата со стороной $$a$$: по теореме Пифагора диагональ равна
$$\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,$$
поэтому для получения стороны $$a\sqrt3$$ удобно использовать построение через прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$a\sqrt2$$, либо воспользоваться стандартным геометрическим построением, дающим отрезок длины $$a\sqrt3$$.
Таким образом, искомые квадраты имеют стороны $$\frac a2$$, $$\frac a3$$ и $$a\sqrt3$$ соответственно.
