Упр.1348 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в $$2$$ раза больше площади треугольника $$ABC$$.

Пусть $$k$$ — коэффициент подобия искомого треугольника $$A_1B_1C_1$$ треугольнику $$ABC$$. Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=k^2.$$

По условию $$S_{A_1B_1C_1}=2S_{ABC}$$, значит

$$k^2=2,\qquad k=\sqrt2.$$

Следовательно, нужно построить треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия $$\sqrt2$$.

Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $$DEF$$ с катетами $$DE=EF$$. Тогда его гипотенуза $$DF$$ в $$\sqrt2$$ раза больше катета:

$$DF=DE\sqrt2.$$

Теперь на луче $$AB$$ отложим:

$$AG=DE,\qquad AH=DF.$$

Через точку $$H$$ проведём прямую, параллельную прямой $$CG$$, и отметим точку $$C_1$$ на пересечении этой прямой с лучом $$AC$$.

Затем через точку $$C_1$$ проведём прямую, параллельную прямой $$BC$$, и отметим точку $$B_1$$ на пересечении этой прямой с прямой $$AB$$.

Точка $$A_1$$ совпадает с точкой $$A$$.

Так как проведённые прямые параллельны соответствующим сторонам треугольника $$ABC$$, то

$$\angle AB_1C_1=\angle ABC,\qquad \angle AC_1B_1=\angle ACB,$$

следовательно, $$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$$. При этом коэффициент подобия равен

$$k=\frac{AH}{AG}=\frac{DF}{DE}=\sqrt2,$$

а значит, площадь построенного треугольника в 2 раза больше площади треугольника $$ABC$$.