Упр.1347 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1347. На рисунке 416 ABCD — параллелограмм. По данным этого рисунка найдите отношение площадей: а) треугольников DPQ и АРВ; б) треугольников DPQ и CBQ.
Рассмотрим треугольники APB и DPQ.
Так как ABCD — параллелограмм, то $$AB \parallel DC,$$ а точки $$D$$ и $$Q$$ лежат на прямой $$DC.$$ Кроме того, точки $$P, Q, B$$ лежат на одной прямой.
Тогда:
- $$\angle PAB = \angle PDQ$$ — как соответственные углы при параллельных прямых $$AB \parallel DQ$$;
- $$\angle PBA = \angle PQD$$ — как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB \parallel DQ$$ и секущей $$PBQ$$.
Следовательно, $$\triangle APB \sim \triangle DPQ$$ по двум углам.
Коэффициент подобия:
$$k=\frac{DQ}{AB}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}.$$
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{DPQ}}{S_{APB}}=k^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}.$$
Значит,
$$S_{DPQ}:S_{APB}=1:9.$$
Теперь рассмотрим треугольники CBQ и DPQ.
Так как $$AB \parallel DC,$$ то $$CB \parallel AP.$$ Тогда:
- $$\angle CBQ = \angle DPQ$$ — как накрест лежащие углы;
- $$\angle CQB = \angle DQP$$ — как накрест лежащие углы.
Следовательно, $$\triangle CBQ \sim \triangle DPQ$$ по двум углам.
Коэффициент подобия:
$$k=\frac{DQ}{CQ}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$\frac{S_{DPQ}}{S_{CBQ}}=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},$$
то есть
$$S_{DPQ}:S_{CBQ}=1:4.$$
Ответ
а) $$1:9$$; б) $$1:4$$.
