Упр.1346 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1346. В треугольник АВС вписан параллелограмм APNM так, как показано на рисунке 415. Известно, что АС=32 см, AB=24 см, а стороны параллелограмма относятся к друг другу как 4:3. Определите длины сторон параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма $$AMNP$$ через $$AM$$ и $$MN$$. По условию они относятся как $$4:3$$, значит возможны два случая:

$$\frac{MN}{AM}=\frac{4}{3}$$ или $$\frac{AM}{MN}=\frac{4}{3}.$$

Рассмотрим подобные треугольники. Так как $$MN \parallel AC$$, а $$NP \parallel AB$$, то

$$\angle BMN=\angle BAC,\qquad \angle BNM=\angle BCA,$$

следовательно,

$$\triangle BMN \sim \triangle BAC.$$

Из подобия получаем

$$\frac{BM}{AB}=\frac{MN}{AC}.$$

Подставим известные значения $$AB=24$$ см, $$AC=32$$ см:

$$\frac{BM}{24}=\frac{MN}{32},\qquad BM=\frac{3}{4}MN.$$

Так как $$AB=AM+BM,$$ то

$$AM+\frac{3}{4}MN=24.$$

1) Если $$MN:AM=4:3$$, то

$$MN=\frac{4}{3}AM.$$

Тогда

$$AM+\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}AM=24,$$

$$AM+AM=24,$$

$$2AM=24,$$

$$AM=12\text{ см}.$$

Тогда

$$MN=\frac{4}{3}\cdot 12=16\text{ см}.$$

2) Если $$AM:MN=4:3$$, то

$$AM=\frac{4}{3}MN.$$

Тогда

$$\frac{4}{3}MN+\frac{3}{4}MN=24,$$

$$\frac{16}{12}MN+\frac{9}{12}MN=24,$$

$$\frac{25}{12}MN=24,$$

$$MN=\frac{24\cdot 12}{25}=11{,}52\text{ см}.$$

Тогда

$$AM=\frac{4}{3}\cdot 11{,}52=15{,}36\text{ см}.$$

Ответ

$$AM=12\text{ см},\ MN=16\text{ см}$$ или $$AM=15{,}36\text{ см},\ MN=11{,}52\text{ см}.$$