Упр.1346 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

В треугольник $$ABC$$ вписан параллелограмм $$APNM$$ так, как показано на рисунке 415. Известно, что $$AC=32\ \text{см}$$, $$AB=24\ \text{см}$$, а стороны параллелограмма относятся друг к другу как $$4:3$$. Определите длины сторон параллелограмма.

Обозначим стороны параллелограмма $$AMNP$$ через $$AM$$ и $$MN$$. По условию

$$MN:AM=4:3.$$

Так как $$MN \parallel AC$$, а $$AM \subset AB$$, то $$\angle BMN=\angle BAC$$. Кроме того, $$NP \parallel AB$$, значит $$\angle BNM=\angle BCA$$. Следовательно, треугольники $$BMN$$ и $$BAC$$ подобны.

Из подобия получаем

$$\frac{BM}{AB}=\frac{MN}{AC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{BM}{24}=\frac{MN}{32},$$

откуда

$$BM=\frac{3}{4}MN.$$

Но $$AB=AM+BM$$, значит

$$AM+\frac{3}{4}MN=24.$$

Теперь используем отношение $$MN:AM=4:3$$, то есть

$$MN=\frac{4}{3}AM.$$

Подставим в уравнение:

$$AM+\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}AM=24,$$

$$AM+AM=24,$$

$$2AM=24,$$

$$AM=12.$$

Тогда

$$MN=\frac{4}{3}\cdot 12=16.$$

Проверим второй вариант, если считать, что $$AM:MN=4:3$$:

$$AM=\frac{4}{3}MN,$$

$$\frac{4}{3}MN+\frac{3}{4}MN=24,$$

$$\frac{25}{12}MN=24,$$

$$MN=11{,}52,$$

$$AM=15{,}36.$$

Значит, возможны два набора длин сторон параллелограмма:

$$AM=12$$ см, $$MN=16$$ см или $$AM=15{,}36$$ см, $$MN=11{,}52$$ см.