Упр.1343 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.
Предположим, что при данном движении некоторая точка плоскости $$D$$ переходит в точку $$D_1$$, причём $$D_1 \ne D$$.
Тогда треугольник $$ABD$$ перейдёт в равный ему треугольник $$ABD_1$$, так как точки $$A$$ и $$B$$ остаются на месте, а точка $$D$$ переходит в $$D_1$$.
Но при движении сохраняются расстояния, значит, если $$A \to A$$ и $$B \to B$$, то должны выполняться равенства
$$AD=AD_1,\qquad BD=BD_1.$$
Следовательно, точки $$D$$ и $$D_1$$ одинаково удалены от точек $$A$$ и $$B$$. Тогда они являются двумя точками пересечения окружностей с центрами $$A$$ и $$B$$ и радиусами $$AD$$ и $$BD$$. Однако при движении треугольник переходит в равный ему треугольник, а значит, положение точки $$D$$ однозначно определяется её расстояниями до неподвижных точек $$A$$ и $$B$$. Это возможно только при $$D_1=D$$.
Итак, любая точка плоскости отображается на себя.
