Упр.1340 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезок A_1 B_1 является средней линией треугольника ABC,значит A_1 B_1 || AB и A_1 B_1=0,5•AB, при гомотетии с центром в точке M и коэффициентом k=-1/2,точка A перейдет в точку A_1,тогда AB>A_1 B_1,откуда следует, что точка B переходит в точку B_1,что и требовалось доказать.

Так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, а $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$, то отрезок $$A_1B_1$$ является средней линией треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$A_1B_1 \parallel AB,\qquad A_1B_1=\frac12 AB.$$

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$. По условию точка $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$, значит точки $$A, M, A_1$$ лежат на одной прямой, причём образ точки $$A$$ при данной гомотетии — точка $$A_1$$.

При гомотетии с коэффициентом $$-\frac12$$ образ отрезка $$AB$$ должен быть параллелен $$AB$$ и иметь длину в два раза меньшую, чем $$AB$$. Но через точку $$A_1$$ на прямой, параллельной $$AB$$, проходит именно отрезок $$A_1B_1$$, причём

$$A_1B_1=\frac12 AB.$$

Значит, образом точки $$B$$ является точка $$B_1$$, а отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$A_1B_1$$.

Ответ

При гомотетии с центром в точке $$M$$ и коэффициентом $$k=-\frac12$$ точка $$A$$ переходит в точку $$A_1$$, точка $$B$$ — в точку $$B_1$$, а отрезок $$AB$$ — в отрезок $$A_1B_1$$.