Упр.1338 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1338. Даны прямая l и точка О, не лежащая на ней. Пусть X — любая точка прямой l. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что множество точек, делящих отрезок ОХ в отношении 1:3, считая от точки О, есть прямая, параллельная прямой l.

Подробный ответ

Рассмотрим произвольные точки $$X$$ и $$X’$$ прямой $$l$$. Построим на отрезках $$OX$$ и $$OX’$$ точки $$A$$ и $$B$$ так, чтобы

$$OA=\frac13\,OX,\qquad OB=\frac13\,OX’.$$

Тогда при гомотетии с центром в точке $$O$$ и коэффициентом $$k=\frac13$$ точка $$X$$ переходит в точку $$A$$, а точка $$X’$$ — в точку $$B$$. Следовательно, образ прямой $$l$$ при этой гомотетии есть прямая $$AB$$.

По свойству гомотетии образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, параллелен исходной прямой. Значит,

$$AB \parallel l.$$

Но точки $$A$$ и $$B$$ — это произвольные точки, делящие отрезки $$OX$$ и $$OX’$$ в отношении $$1:3$$, считая от точки $$O$$. Следовательно, все такие точки лежат на одной и той же прямой, параллельной $$l$$.

Итак, множество точек, делящих отрезок $$OX$$ в отношении $$1:3$$ от точки $$O$$, есть прямая, параллельная прямой $$l$$.