Упр.1334 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Отметим произвольную точку D на стороне AB;
2) Из точки B опустим перпендикуляр DE на прямую AC;
3) На прямой AC отложим отрезок EG равный отрезку DE;
4) Через точку D проведем перпендикуляр к отрезку DE;
5) На перпендикуляре отложим отрезок DF равный DE;
6) Квадрат PQRS гомотетичен DFGE с центром A.

Подробный ответ

Пусть на стороне $$AB$$ выбрана произвольная точка $$D$$. Из точки $$B$$ опустим перпендикуляр $$DE$$ на прямую $$AC$$. На прямой $$AC$$ отложим отрезок $$EG$$, равный $$DE$$. Через точку $$D$$ проведём перпендикуляр к отрезку $$DE$$ и на нём отложим $$DF=DE$$.

Тогда четырёхугольник $$DFGE$$ — квадрат: по построению $$DE\perp DF$$, $$DE\parallel EG$$, $$DF\parallel EG$$ и $$DE=DF=EG$$.

Теперь рассмотрим гомотетию с центром в точке $$A$$, при которой квадрат $$DFGE$$ переходит в квадрат $$PQRS$$. Так как точки $$E$$ и $$G$$ лежат на прямой $$AC$$, а точки $$D$$ и $$F$$ расположены на лучах, исходящих из $$A$$, то образы вершин квадрата лежат соответственно на сторонах треугольника: $$P,Q\in AC$$, $$R\in BC$$, $$S\in BA$$.

Следовательно, искомый квадрат $$PQRS$$ можно построить по указанному алгоритму.