Упр.1333 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1333. На клетчатой бумаге с клетками 1х1 см изображены окружности и связанные с ними хорды, секущие или касательные (рис. 411). Найдите: а) длины отрезка МА секущей и хорды АВ (рис. 411, а); б) длину отрезка касательной АМ (рис. 411,6); в) длину отрезка АМ хорды (рис. 411, в).

Подробный ответ

Используем две теоремы:

если из точки вне окружности проведены секущая и хорда, то $$MA \cdot MB = MC \cdot MD$$;
если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то $$MA^2 = MC \cdot MD$$.

а) По рисунку $$MC=4$$, $$MD=10$$. Отрезок $$MA$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $$4$$ и $$3$$, поэтому

$$ MA=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. $$

Тогда по теореме о секущей и хорде:

$$ MA \cdot MB = MC \cdot MD, $$
$$ 5 \cdot MB = 4 \cdot 10 = 40, $$
$$ MB=8. $$

Следовательно,

$$ AB=MB-MA=8-5=3. $$

б) Здесь $$MC=3$$, $$MD=12$$, а $$MA$$ — касательная. Тогда

$$ MA^2=MC \cdot MD=3 \cdot 12=36, $$
$$ MA=\sqrt{36}=6. $$

в) По рисунку $$MC=4$$, $$MD=2$$. Сначала найдём $$MB$$ как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $$3$$ и $$4$$:

$$ MB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. $$

Теперь применим теорему о секущей и хорде:

$$ MB \cdot MA = MC \cdot MD, $$
$$ 5 \cdot MA = 4 \cdot 2 = 8, $$
$$ MA=\frac{8}{5}=1{,}6. $$