Упр.1331 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1331. Через точку М — внутреннюю относительно окружности с центром О и радиусом R, проходит хорда АВ. Докажите, что MA·MB=R^2-MO^2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 atan7_9 1331 76

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ диаметр $$CD$$ окружности. Тогда $$O$$ — середина диаметра, значит

$$OC=OD=R.$$

Так как точка $$M$$ лежит на отрезке $$CD$$, то

$$MD=OD-OM=R-OM,$$

$$MC=OC+OM=R+OM.$$

Для пересекающихся хорд $$AB$$ и $$CD$$, пересекающихся в точке $$M$$, имеем:

$$MA\cdot MB=MC\cdot MD.$$

Подставим найденные выражения:

$$MA\cdot MB=(R+OM)(R-OM)=R^2-MO^2.$$

Что и требовалось доказать.