Упр.1330 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку М — внешнюю относительно окружности с центром О и радиусом $$R$$, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Докажите, что $$MA\cdot MB=MO^2-R^2$$.

Проведём через точку $$M$$ касательную $$MC$$ к окружности, где $$C$$ — точка касания. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OC \perp MC,$$

а также

$$OC=R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCM$$. По теореме Пифагора:

$$MC^2=OM^2-OC^2=OM^2-R^2.$$

По теореме о степени точки для секущей $$MAB$$ и касательной $$MC$$ имеем:

$$MA\cdot MB=MC^2.$$

Следовательно,

$$MA\cdot MB=OM^2-R^2.$$

Что и требовалось доказать.