Упр.1330 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1330. Через точку М — внешнюю относительно окружности с центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Докажите, что MA·MB=MO^2-R^2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 atan7_9 1330 76

Подробный ответ

Проведём через точку $$M$$ касательную $$MC$$ к окружности с центром $$O$$. Тогда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $$OC \perp MC$$, а также $$OC=R$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCM$$. По теореме Пифагора:

$$MC^2=OM^2-OC^2=OM^2-R^2.$$

Для точки $$M$$, лежащей вне окружности, произведение отрезков секущей равно квадрату касательной:

$$MA\cdot MB=MC^2.$$

Следовательно,

$$MA\cdot MB=OM^2-R^2.$$

Что и требовалось доказать.