Упр.133 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

1) Пусть в равных треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ проведены биссектрисы $$AM$$ и $$A_1M_1$$ к соответственно равным сторонам.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle A_1B_1M_1$$. У них:

• $$AB=A_1B_1$$, так как $$\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$$;
• $$\angle BAM=\angle B_1A_1M_1$$, так как $$AM$$ и $$A_1M_1$$ — биссектрисы, а $$\angle A=\angle A_1$$;
• $$\angle ABM=\angle A_1B_1M_1$$, так как соответствующие углы равных треугольников равны.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle A_1B_1M_1$$, значит, соответствующие стороны равны:

$$AM=A_1M_1.$$

2) Пусть в треугольнике $$\triangle ABC$$ биссектриса $$BH$$ является высотой.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BHA$$ и $$\triangle BHC$$. Они прямоугольные, так как $$BH\perp AC$$, и имеют:

• $$\angle ABH=\angle HBC$$, так как $$BH$$ — биссектриса;
• $$\angle BHA=\angle BHC=90^\circ$$;
• $$BH$$ — общая сторона.

Значит, $$\triangle BHA \cong \triangle BHC$$, откуда

$$AB=BC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

1) $$AM=A_1M_1$$. 2) $$AB=BC$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.