Упр.1327 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1327. Пользуясь теоремой об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Подробный ответ

Пусть $$AA_1$$ — диаметр окружности, $$BB_1$$ — хорда, $$AA_1 \cap BB_1 = C$$, причём $$AA_1 \perp BB_1$$.

Так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то

$$BC = CB_1 = \frac{1}{2}BB_1.$$

Теперь рассмотрим пересекающиеся хорды $$AA_1$$ и $$BB_1$$. По теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем:

$$AC \cdot CA_1 = BC \cdot CB_1.$$

Но $$BC = CB_1$$, значит

$$AC \cdot CA_1 = (BC)^2.$$

Отсюда

$$BC = \sqrt{AC \cdot CA_1}.$$

Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.