Упр.132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $$AB=A_1B_1$$, $$BC=B_1C_1$$, $$\angle B=\angle B_1$$. На сторонах $$AB$$ и $$A_1B_1$$ отмечены точки $$D$$ и $$D_1$$ так, что $$\angle ACD=\angle A_1C_1D_1$$. Докажите, что $$\triangle ACD\cong\triangle A_1C_1D_1$$.
2. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла $$A$$, пересекает стороны угла в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольник $$AMN$$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ANA_1$$ и $$\triangle AMA_1$$.

Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle NAA_1=\angle MAA_1.$$

Кроме того, прямая $$a$$ перпендикулярна биссектрисе $$AA_1$$, значит

$$\angle NA_1A=\angle MA_1A=90^\circ.$$

Сторона $$AA_1$$ у треугольников общая.

Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда соответствующие стороны равны:

$$AN=AM.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.

Ответ

$$AM=AN$$, поэтому $$\triangle AMN$$ равнобедренный.