Упр.132 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: В треугольниках ABC и А1Б1С1 AB = A1B1, BC = BlC1 уголB = уголB1. На сторонах АВ и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что уголACD =уголAlClDl. Докажите, что ABCD — ABlC1Dl. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

1) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. По условию

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle B=\angle B_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle C=\angle C_1.$$

2) Теперь рассмотрим треугольники $$DBC$$ и $$D_1B_1C_1$$.

Имеем:

$$BC=B_1C_1,$$

$$\angle B=\angle B_1,$$

$$\angle BCD=\angle B_1C_1D_1.$$

Действительно,

$$\angle BCD=\angle BCA-\angle DCA,$$

$$\angle B_1C_1D_1=\angle B_1C_1A_1-\angle A_1C_1D_1,$$

а так как $$\angle BCA=\angle B_1C_1A_1$$ и $$\angle ACD=\angle A_1C_1D_1$$, то $$\angle BCD=\angle B_1C_1D_1$$.

Следовательно, $$\triangle DBC \cong \triangle D_1B_1C_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, соответствующие элементы равны, то есть

$$BD=B_1D_1,\quad CD=C_1D_1.$$

3) Докажем, что $$\triangle AMN$$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $$ANA_1$$ и $$AMA_1$$. Они прямоугольные, так как $$a\perp AA_1$$, и имеют общую сторону $$AA_1$$. Кроме того,

$$\angle NAA_1=\angle MAA_1,$$

поскольку $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$.

Также

$$\angle NA_1A=\angle MA_1A=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ANA_1 \cong \triangle AMA_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AN=AM.$$

Значит, треугольник $$AMN$$ равнобедренный.

Ответ

$$\triangle DBC \cong \triangle D_1B_1C_1,$$ поэтому $$BD=B_1D_1$$ и $$CD=C_1D_1$$; $$AM=AN$$, значит $$\triangle AMN$$ равнобедренный.