Упр.1313 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1313. Перечертите рисунок 401,а-г в тетрадь и постройте треугольники, в которые переходят данные треугольники, при гомотетии с данным центром и коэффициентом: а) треугольник ABC, центр гомотетии О, k=3; б) треугольник XYZ, центр гомотетии Z, k=1/2; в) треугольник PQR, центр гомотетии Р, k=-2; г) треугольник LMN, центр гомотетии Е — середина отрезка LM, k=-1/2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 atan7_9 1313 76

Подробный ответ

При гомотетии каждая вершина треугольника переходит в точку, лежащую на прямой, соединяющей эту вершину с центром гомотетии. При $$k>0$$ точка-образ лежит по ту же сторону от центра, что и исходная точка, а при $$k<0$$ — по другую сторону. Расстояния от центра умножаются на $$|k|$$.

а) При $$k=3$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на лучах $$OA, OB, OC$$ соответственно и удовлетворяют условиям:

$$OA_1=3\cdot OA,\quad OB_1=3\cdot OB,\quad OC_1=3\cdot OC.$$

Значит, нужно построить треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, в три раза больший и с тем же расположением относительно центра $$O$$.

б) При $$k=\frac12$$ и центре $$Z$$ точка $$Z$$ остаётся неподвижной, а образы вершин $$X$$ и $$Y$$ лежат на лучах $$ZX$$ и $$ZY$$:

$$ZX_1=\frac12\cdot ZX,\quad ZY_1=\frac12\cdot ZY.$$

Следовательно, треугольник $$X_1Y_1Z$$ получается уменьшением треугольника $$XYZ$$ в 2 раза с центром в точке $$Z$$.

в) При $$k=-2$$ и центре $$P$$ точки $$Q_1$$ и $$R_1$$ лежат на прямых $$PQ$$ и $$PR$$, но по другую сторону от центра $$P$$:

$$PQ_1=2\cdot PQ,\quad PR_1=2\cdot PR.$$

Так как коэффициент отрицательный, точки $$Q_1$$ и $$R_1$$ расположены на продолжениях прямых $$PQ$$ и $$PR$$ за точку $$P$$. Получаем треугольник $$P Q_1 R_1$$, симметричный относительно центра $$P$$ с увеличением в 2 раза.

г) Точка $$E$$ — середина отрезка $$LM$$, а $$k=-\frac12$$. Значит, образы точек $$L$$ и $$M$$ лежат на прямых $$EL$$ и $$EM$$ по другую сторону от $$E$$, причём:

$$EL_1=\frac12\cdot EL,\quad EM_1=\frac12\cdot EM.$$

Так как $$E$$ — середина $$LM$$, то $$EL=EM$$, поэтому точки $$L_1$$ и $$M_1$$ строятся на продолжениях прямых $$EL$$ и $$EM$$ за точку $$E$$ на расстоянии, равном половине соответствующих отрезков. Точка $$N$$ переходит в точку $$N_1$$ аналогично:

$$EN_1=\frac12\cdot EN.$$

В результате получается треугольник $$L_1M_1N_1$$.