Упр.1310 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1310. Отметьте четыре точки: О, А, В, С. а) Постройте точки A_1, B_1, C_1 так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k=3 точки А, В и С перешли соответственно в точки A_1, B_1, C_1; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, равным -2; 1 и 1/3. Правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания а и плоским углом а при вершине вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объём полученного тела.

Подробный ответ

При гомотетии с центром $$O$$ каждая точка переходит в точку, лежащую на прямой, проходящей через $$O$$ и эту точку. Если коэффициент $$k>0$$, то образ лежит по ту же сторону от $$O$$; если $$k<0$$, то по другую сторону. Расстояние от центра гомотетии до образа в $$|k|$$ раз больше расстояния до исходной точки.

а) $$k=3$$. На лучах $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ отмечаем точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ так, чтобы

$$OA_1=3\cdot OA,\quad OB_1=3\cdot OB,\quad OC_1=3\cdot OC.$$

То есть точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на тех же лучах, что и точки $$A, B, C$$, и находятся от $$O$$ в три раза дальше.

б) $$k=-2,\;1,\;\frac13$$.

При $$k=-2$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ строятся на прямых $$OA, OB, OC$$, но по другую сторону от $$O$$, причём
$$OA_1=2\cdot OA,\quad OB_1=2\cdot OB,\quad OC_1=2\cdot OC.$$
При $$k=1$$ каждая точка переходит в себя:
$$A_1=A,\quad B_1=B,\quad C_1=C.$$
При $$k=\frac13$$ точки $$A_1, B_1, C_1$$ лежат на лучах $$OA, OB, OC$$ и удовлетворяют равенствам
$$OA_1=\frac13\,OA,\quad OB_1=\frac13\,OB,\quad OC_1=\frac13\,OC.$$

Для правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания $$a$$ и плоским углом при вершине $$\alpha$$ при вращении вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания, получаем тело вращения, из которого вырезаны два конуса.

Пусть $$h$$ — высота пирамиды, $$r$$ — радиус вырезаемых конусов, $$R$$ — радиус цилиндра. Тогда

$$h=a,$$

а из прямоугольного треугольника в сечении пирамиды:

$$EM=\frac12\,AD\cdot \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{a}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,

$$R=PA=EM=\frac{a}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}.$$

Высота вырезаемого конуса равна

$$\frac{a}{2},$$

а его радиус:

$$r=EO=PM=\sqrt{EM^2-MO^2}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a}{2}\sqrt{\ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}.$$

Тогда объём искомого тела:

$$ V=\pi R^2a-2\cdot \frac13\pi r^2\cdot \frac{a}{2} =\pi a\left(R^2-\frac{r^2}{3}\right). $$

Подставим найденные значения:

$$ V=\pi a\left(\left(\frac{a}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}\right)^2-\frac13\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\ctg^2\frac{\alpha}{2}-1\right)\right) =\frac{\pi a^3}{12}\left(2\ctg^2\frac{\alpha}{2}+1\right). $$