Упр.1307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1307. Длина стороны квадрата F равна а. Построен многоугольник F_1, подобный многоугольнику F. а) Докажите, что многоугольник F — квадрат, б) Найдите площадь многоугольника F_1, если коэффициент подобия многоугольников F и F_1 равен k. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Подробный ответ

Рассмотрим проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его пространственной диагонали. Получается правильный шестиугольник. Обозначим его сторону через $$b$$.

Найдём $$b$$ из треугольника $$ABA_1$$ по теореме косинусов:

$$ A_1B^2=(a\sqrt{2})^2=b^2+b^2-2b^2\cos 120^\circ $$
$$ 2a^2=2b^2+ b^2=3b^2 $$
$$ b^2=\frac{2}{3}a^2,\qquad b=\frac{\sqrt{6}}{3}a $$

Радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник, равен

$$ r=R\cos 30^\circ=b\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{6}}{3}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{2} $$

Это ровно половина диагонали грани куба, значит отверстие можно сделать сквозным: через него проходит куб таких же размеров.

Покажем, что при квадратном отверстии со стороной $$a$$, расположенном параллельно стороне шестиугольника проекции, через него также проходит такой же куб. Достаточно доказать, что $$OC>OB$$.

В треугольнике $$AOC$$ имеем:

$$ OA=\frac{\sqrt{6}}{3}a,\qquad \angle CAO=90^\circ,\qquad \angle COA=45^\circ $$

Тогда

$$ \angle ACO=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ $$

По теореме синусов:

$$ \frac{OA}{\sin 45^\circ}=\frac{OC}{\sin 90^\circ} $$
$$ OC=\frac{OA}{\sin 45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{2\sqrt{3}}{3}a $$

Аналогично для отрезка $$OB$$ получаем меньшую величину, поэтому $$OC>OB$$. Следовательно, через такое отверстие куб проходит.