Упр.1306 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Многоугольники $$F_1$$ и $$F_2$$ подобны. Пусть $$S_1$$ и $$S_2$$ — их площади, а $$k$$ — коэффициент подобия многоугольника $$F_1$$ относительно $$F_2$$. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу.
- Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от него вершин куба. Как должен двигаться паук?
Пусть ребро куба равно $$a$$. Рассмотрим две грани куба, по которым паук должен двигаться кратчайшим путём: сначала по одной грани до ребра, а затем по другой грани до вершины, где сидит муха.
Развернём эти две грани в одну плоскость. Тогда кратчайший путь по поверхности куба превратится в отрезок между точкой $$E$$ — серединой ребра, и соответствующей вершиной $$C$$.
В получившемся прямоугольнике одна сторона равна $$a$$, а другая — $$\frac{a}{2}$$, так как точка $$E$$ — середина ребра. Поэтому длина кратчайшего пути равна
$$EC=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{5a^2}{4}} =\frac{a\sqrt5}{2}.$$
Значит, паук должен двигаться по поверхности куба по отрезку на развертке двух граней: от середины ребра к вершине на соседней грани, а затем к нужной вершине куба.
Ответ: кратчайший путь равен $$\frac{a\sqrt5}{2}$$.
