Упр.1304 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: 1304. Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны. Длины сторон ВС и B_1C_1 соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и A_1B_1C_1. Все плоские углы тетраэдра ОABC при вершине О — прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

Подробный ответ

Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, значит отношение их периметров равно коэффициенту подобия:

$$\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}}=k.$$

Найдём коэффициент подобия по соответствующим сторонам:

$$k=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{1{,}4\ \text{м}}{56\ \text{см}}=\frac{140\ \text{см}}{56\ \text{см}}=\frac{5}{2}.$$

Следовательно,

$$P_{ABC}:P_{A_1B_1C_1}=5:2.$$

Пусть $$OA=a$$, $$OB=b$$, $$OC=c$$. Так как все плоские углы тетраэдра $$OABC$$ при вершине $$O$$ прямые, то треугольники $$OAB$$, $$OBC$$ и $$OAC$$ прямоугольные. Поэтому

$$AB^2=a^2+b^2,\qquad BC^2=b^2+c^2,\qquad AC^2=a^2+c^2.$$

Обозначим площади граней:

$$S_{AOB}=\frac12 ab,\qquad S_{BOC}=\frac12 bc,\qquad S_{AOC}=\frac12 ac.$$

Тогда

$$S_{AOB}^2+S_{BOC}^2+S_{AOC}^2=\frac14\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right).$$

Докажем, что $$S_{ABC}^2$$ равно этому выражению. По формуле площади треугольника

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin\angle A.$$

Найдём $$\cos\angle A$$ по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{a^2+b^2+a^2+c^2-b^2-c^2}{2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}.$$

Тогда

$$\sin^2 A=1-\cos^2 A=1-\frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}.$$

Следовательно,

$$ S_{ABC}^2=\left(\frac12 AB\cdot AC\cdot \sin A\right)^2 =\frac14 (a^2+b^2)(a^2+c^2)\cdot \frac{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} =\frac14\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right). $$

Значит,

$$S_{ABC}^2=S_{AOB}^2+S_{BOC}^2+S_{AOC}^2.$$