Упр.130 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: На рисунке 74 уголDAC = уголDBC, АО = ВО. Докажите, что уголC = уголD и АС = BD. В треугольниках ABC и А,Б,С, отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС = В1С1, угол B — угол B1 и угол C = угол C1. Докажите, что: а) треугольник АСО = треугольник А1С1О1; б) треугольник ВСО = треугольник В1С1О1.

Так как $$AO=BO,$$ то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, следовательно, $$\angle OAB=\angle OBA.$$

Из условия $$\angle DAC=\angle DBC.$$ Тогда

$$\angle CAB=\angle OAB+\angle DAC,$$

$$\angle DBA=\angle OBA+\angle DBC.$$

Поскольку $$\angle OAB=\angle OBA$$ и $$\angle DAC=\angle DBC,$$ получаем

$$\angle CAB=\angle DBA.$$

Рассмотрим треугольники $$CAB$$ и $$DBA.$$ У них:

$$\angle CAB=\angle DBA,$$

$$\angle CBA=\angle DAB,$$

$$AB$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle CAB \cong \triangle DBA$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, соответствующие элементы равны:

$$\angle C=\angle D,$$

$$AC=BD.$$

Ответ

$$\angle C=\angle D,\quad AC=BD.$$

Ход решения

Так как $$CO$$ и $$C_1O_1$$ — медианы, то точки $$O$$ и $$O_1$$ — середины сторон $$AB$$ и $$A_1B_1$$ соответственно. Поэтому

$$AO=\frac12 AB,\qquad BO=\frac12 AB,$$

$$A_1O_1=\frac12 A_1B_1,\qquad B_1O_1=\frac12 A_1B_1.$$

Из равенства треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ следует:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1,\quad \angle B=\angle B_1,\quad \angle C=\angle C_1.$$

Тогда

$$AO=A_1O_1,$$

и, кроме того, $$\angle AOC=\angle A_1O_1C_1$$ как вертикальные углы. Также $$AC=A_1C_1$$.

Следовательно, $$\triangle ACO \cong \triangle A_1C_1O_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Аналогично, $$BO=B_1O_1,$$ $$BC=B_1C_1,$$ и $$\angle BOC=\angle B_1O_1C_1$$ как вертикальные углы, значит

$$\triangle BCO \cong \triangle B_1C_1O_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

$$\triangle ACO \cong \triangle A_1C_1O_1,\qquad \triangle BCO \cong \triangle B_1C_1O_1.$$