Упр.1297 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если для прямоугольников $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ выполняются равенства $$AB=A_1B_1$$ и $$BC=B_1C_1$$, то прямоугольники равны.
- Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.
Пусть $$O_2’$$ — точка, симметричная центру $$O_2$$ относительно прямой $$a$$. Тогда окружность с центром $$O_2’$$ и радиусом, равным радиусу второй данной окружности, является отражением этой окружности относительно прямой $$a$$.
Обозначим через $$A$$ одну из точек пересечения окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2’$$. Тогда $$A$$ лежит на первой данной окружности и на отражении второй окружности.
Через точку $$A$$ проведём перпендикуляр к прямой $$a$$ и обозначим точку его пересечения с прямой $$a$$ через $$H$$. На прямой $$AH$$ отложим отрезок $$HB=AH$$. Тогда точка $$B$$ симметрична точке $$A$$ относительно прямой $$a$$, значит $$B$$ лежит на второй данной окружности.
Построим окружность с центром $$A$$ и радиусом $$AB$$. Точку $$C$$ возьмём в пересечении этой окружности с прямой $$a$$.
Докажем, что $$\triangle ABC$$ — правильный. Так как $$B$$ симметрична $$A$$ относительно прямой $$a$$, а точка $$C$$ лежит на оси симметрии $$a$$, то
$$CA=CB.$$
Кроме того, по построению
$$AB=CA.$$
Следовательно,
$$AB=BC=CA,$$
то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний, а значит, правильный.
При этом $$A\in O_1$$, $$B\in O_2$$, а высота из вершины $$C$$ проходит по прямой $$a$$, так как $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.
