Упр.1293 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Пусть даны пересекающиеся прямые a и b и точка O;
2) Из точки O опустим перпендикуляр OE на прямую a;
3) Построим точку F симметрично E относительно O;
4) Через точку F проведем прямую параллельно a;
5) Отметим точку A не пересечении с прямой b;
6) Отметим точку B на пересечении AO и a;
7) Тогда, отрезок AB является искомым. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — данные параллелограммы, причём

$$AC=A_1C_1,\quad BD=B_1D_1,\quad \angle AOB=\angle A_1O_1B_1,$$

где $$O$$ и $$O_1$$ — точки пересечения диагоналей.

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC,\quad BO=OD,$$
$$A_1O_1=O_1C_1,\quad B_1O_1=O_1D_1.$$

Из равенства диагоналей получаем:

$$AO=A_1O_1,\quad BO=B_1O_1.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle A_1O_1B_1$$. В них

$$AO=A_1O_1,\quad BO=B_1O_1,\quad \angle AOB=\angle A_1O_1B_1.$$

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle A_1O_1B_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, существует наложение, при котором

$$A\mapsto A_1,\quad B\mapsto B_1,\quad O\mapsto O_1.$$

При этом диагонали $$AC$$ и $$A_1C_1$$, а также $$BD$$ и $$B_1D_1$$ являются продолжениями соответствующих сторон наложенных треугольников. Так как соответствующие диагонали равны, то совпадут и точки $$C$$ с $$C_1$$, $$D$$ с $$D_1$$.

Значит, при наложении совпадают все вершины параллелограммов, то есть

$$ABCD \cong A_1B_1C_1D_1.$$

Следовательно, данные параллелограммы равны.