Упр.1293 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две пересекающиеся прямые и точка $$O$$, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку $$O$$, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой $$O$$ пополам.
- Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$C$$, а точка $$O$$ не лежит ни на одной из них. Проведём через точку $$O$$ прямую $$l$$ так, чтобы она пересекала прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно, и точка $$O$$ делила отрезок $$AB$$ пополам.
Построим точку $$F$$, симметричную точке $$O$$ относительно прямой $$a$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$OF$$, значит, для любой точки $$X \in a$$ выполняется $$XO=XF$$.
Теперь проведём через точку $$F$$ прямую, параллельную прямой $$b$$. Обозначим через $$A$$ точку её пересечения с прямой $$a$$. Через точку $$A$$ и точку $$O$$ проведём прямую $$l=AO$$. Она пересечёт прямую $$b$$ в точке $$B$$.
Докажем, что $$O$$ — середина отрезка $$AB$$.
Так как $$F$$ — точка, симметричная $$O$$ относительно $$a$$, а $$AF \parallel b$$, то углы при прямых $$a$$ и $$b$$, образованные с прямой $$AO$$, равны. Кроме того, из симметрии относительно $$a$$ получаем равенство соответствующих отрезков, а значит, точки $$A$$ и $$B$$ расположены на одной прямой с $$O$$ симметрично относительно точки $$O$$. Следовательно, $$AO=OB$$.
Итак, точка $$O$$ делит отрезок $$AB$$ пополам, а прямая $$AB$$ проходит через точку $$O$$ и отсекает на данных прямых отрезок, делящийся точкой $$O$$ пополам.
Построение: построить точку, симметричную одной из данных точек относительно прямой, затем через неё провести прямую, параллельную второй данной прямой; искомая прямая проходит через точку $$O$$ и пересекает данные прямые в нужных точках.
