Упр.1289 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ являются соответственно серединами отрезков $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$. Докажите, что треугольник $$A_1B_1C_1$$ = треугольник $$A_2B_2C_2$$.
2. На рисунке 373 изображены четыре полуокружности: $$AEB$$, $$AKC$$, $$CFD$$, $$DLB$$, причём $$AC=DB$$. Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади круга, построенного на отрезке $$EF$$ как на диаметре.

В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$M$$. Из свойства центра тяжести треугольника следует, что он делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$AM=2MA_1,\quad BM=2MB_1,\quad CM=2MC_1.$$

Так как точки $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ — середины отрезков $$AM$$, $$BM$$ и $$CM$$ соответственно, то

$$AA_2=A_2M,\quad BB_2=B_2M,\quad CC_2=C_2M.$$

Но из равенств выше получаем:

$$A_1M=MA_2,\quad B_1M=MB_2,\quad C_1M=MC_2.$$

Значит, точка $$M$$ является центром симметрии, переводящим

$$A_1 \leftrightarrow A_2,\quad B_1 \leftrightarrow B_2,\quad C_1 \leftrightarrow C_2.$$

При центральной симметрии треугольник $$A_1B_1C_1$$ переходит в треугольник $$A_2B_2C_2$$. Следовательно, эти треугольники равны.

Ответ: $$\triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle A_2B_2C_2$$.