Упр.1287 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны два произвольных луча $$h$$ и $$h_1$$. Можно ли утверждать, что существует движение, при котором луч $$h$$ отображается на луч $$h_1$$?
2. Пусть $$ABCD$$ — квадрат, а $$A_1B_1C_1$$ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса $$R$$. Докажите, что сумма $$AB + A_1B_1$$ равна длине полуокружности с точностью до $$0{,}01R$$.

Пусть окружность имеет радиус $$R.$$ Тогда сторона квадрата, вписанного в окружность, равна

$$AB=R\sqrt{2},$$

а сторона правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, равна

$$A_1B_1=R\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$AB+A_1B_1=R(\sqrt{2}+\sqrt{3}).$$

Длина полуокружности равна

$$\frac{1}{2}C=\pi R.$$

Сравним числа $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ и $$\pi.$$ Имеем

$$\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\approx 9{,}90,$$

значит

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3{,}146.$$

Тогда

$$\pi-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\approx 3{,}1416-3{,}146\approx -0{,}0044,$$

то есть

$$\left|\pi-\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\right|<0{,}01.$$

Умножая на $$R,$$ получаем

$$\left|\pi R-\left(AB+A_1B_1\right)\right|<0{,}01R.$$

Значит, сумма $$AB+A_1B_1$$ равна длине полуокружности с точностью до $$0{,}01R.$$

Ответ: да.